綦母怀文计算枣树的果子

有一次，一个和尚手指着綦母怀文说：“这个人特别能不同一般的算术。”接着，和尚指着庭院的一棵枣树说：“你们可以叫他计算这棵枣树的果子，就能知道真实的数目了。”于是大家就试一试了他，果然綦母怀文说出了这棵枣树的全红的枣子的数目、半红半白的枣子的数目。大家于是将枣树上的枣子全部剥落下来，一个一个的数数，发现少了一个枣子。綦母怀文说：“一定不会少的，只要再摇撼枣树。”结果，枣树又掉落了一个枣子。(原文见附录一)

曹元理的算学

曹元理有一次到真玄兔的朋友陈广汉家。陈广汉说：“我有二囷米，忘记有多少石了。你为我计算一下。”曹元理用吃饭的筷子量了十多圈，说：“东囷有米七百四十九石二斗七合，西囷有米六百九十七石八斗。”于是陈广汉将囷门关好贴上封条。后来往外出米，西囷出了六百九十七石七斗九升。囷中有一只老鼠，大约有一升那么大。东囷不差厘毫。

第二年，曹元理又遇到了陈广汉。陈广汉将出囷时量的米的石数告诉曹元理。曹元理用手拍床说：“怎么就不知道老鼠吃米？真没脸面。”陈广汉取来了酒和几块鹿肉干，请曹元理边算边喝酒。曹元理又用筹码计算后说：“甘蔗田二十五畦，应该收一千五百三十六枚。大芋三十七亩，应收六百七十三石。有一千头牛，生产二百头牛犊。有一万只鸡，将孵出五万只鸡雏。”羊猪鹅鸭，都说出它们的数目；瓜果蔬菜果实，都知道它们有多少。又说：“你有这么多的家业，怎么拿出这么少的食物来招待我？”

陈广汉惭愧地说：“只有仓促中的客人，没有仓促中的主人。”曹元理说：“你有那么多的猪鸡鸭鹅，有那么多的瓜果蔬菜，盛上一头蒸肫，再盛上一盘荔枝，都可以。”陈广汉再次揖拜谢罪，進到厨房里重新取来菜肴，两人一起高高兴兴地喝酒，一直喝到晚上方散。

曹元理的算学，后来传给了傅南季；傅南季又传给了项滔；项滔又传给了傅南季的儿子傅陆。但是这些人都只学到了曹元理的分数，而没有真正继承下来他在算学上的建树。(原文见附录二)

袁弘御计算桐树叶子

后唐袁弘御官任云中从事，尤其精通算术。同府的同事让他计算一下院子里一株桐树有多少片叶子。他立即丈量桐树，在离桐树七尺远围树画一个圆，量取圆的直径的尺寸進行运算。过了许久，说：“约有若干片树叶。”同事们没法查核，让人撼掉二十二片叶子，又叫他算。袁弘御说：“照比刚才少了二十一片树叶。”检查一下，掉落的叶中有两片略小点，当成一叶了。节度使张敬达有两只玉碗，袁弘御量了一下碗的深度与宽度，运算之后说：“这两只碗明年五月十六日巳时一定会碎裂的。”张敬达听了后说：“我将它们小心地藏起来，看它们还能破碎吗？”随即让人将两只玉碗用衣絮等物包裹好，装在一个大竹笼里面，放在库房中。

到了来年五月十六日巳时，库房的屋梁突然折断了，掉下来刚好压在藏碗的竹笼上，两只玉碗都被砸碎了。太仆少卿薛文美同在府中，亲眼见到这件事情。(原文见附录三)

这三则故事说明了中国古代数学科学的奇特玄妙之处。可惜，这些记载由于过去的人们没能正确的去理解，多数把他们当作传说，淹没了他们的真实与可靠性。而能理解中国古代文化的博大精深的人，是完全相信他们的真实性的。

首先，綦母怀文、曹元理、袁弘御三人都精通算术，然而至于是什么样的算术，现在科学或者技术理念已经弄不明白了。也就是说，根据故事的记载，此三人的算术是真实而且准确的，只是已经失传了而已。实际上，应当还有更多的故事，笔者能力所限，未能找到。

其次，綦母怀文的故事中没有记载使用了什么计算工具。曹元理在量测陈广汉二囷米的重量的时候，用了“食箸”（即筷子）作为工具，而不是用权衡或者称枰来称重计算。曹元理在量测陈广汉家畜及农作物的收成时，也未见有用任何工具。袁弘御在测算桐树的叶子数目的多少的时候，竟然是丈量树的围径的大小，然后得出桐树的树叶的具体数目。但是，由于众人无法证实桐树上的叶子的具体数目，干脆故意摇落桐树的叶子，让他计算（实际是近同于猜测）地上的落下叶子的数目；结果，计算的结果完全准确。

这说明古人计算事物的数目是有一种特殊的计算方式，而且这些计算方式使用的工具是极其简单的，甚至跟计算的事物或者测量单位是不一致的、不是一回事。就如袁弘御计算桐树的叶子数目的时候，竟然丈量树木的围径；而摇落的树叶数目的计算依靠的是什么，却是不得而知了。

第三，这三个故事在计算的对象上，用今人的观念，接近必须使用猜测的办法或者极其特殊的工具才能计算的，实际都是些刁难之题，犹如笑话一般要人数天上的星星或者数绵羊身上的毛发。可是，根据当时的情况来看，不具备任何现实中人们理解得到的任何必须工具。而且这些算家们似乎也不需要任何特别的工具。如：綦母怀文计算枣树的果实的时候，不仅能算清楚果实的数目，而且能计算清楚生熟的具体数目。如果是今人计算的话，必然一个一个的去剥摘树上的果实才能算得清，这样不论果实的是否是成熟，都被剥摘，势必造成浪费，这就是现代实证科学思想的实验的过程与结果。

曹元理在计算陈广汉二囷米和家畜、农作物数目的时候，不可能一个一个的去到现场称重或者记数，而曹元理毕竟计算出来了，并且非常准确，甚至西囷中多出来的一只老鼠的重量也包括在其中了。

袁弘御不仅算出树上的叶子数目，而且，刚刚摇落地上的叶子数目迅即可以被计算出来。更進一步的是，袁弘御能计算出二只玉碗在什么时间破碎。这个就近乎神话奇谈了。

第四，由此我们可以了解到，中国古代的数学有许多不为人们所知的真实情况，主要是包括关于数学的认识和关于数学的计算方法。

笔者认为，这和中国古代的半神文化有关，尤其是中国的数术文化。这一点在袁弘御的故事上犹有体现。简而言之，人们一般认为算卦属于算命之类，能为人说明吉凶变化。实际真正的算卦不仅可以算命，还可以算很多人类或者自然界的其他的各种事物，不一定专为算命而用。中国数术文化的来源，大都是来自象《周易》、阴阳、五行等等之类的卜筮等技巧，体系大多完整严密，皆有崇天敬神的本意。数术与数学之间的关系还须另文详论。

另外，读者若翻阅《太平广记·215卷》部分，就可以感觉到，至少在宋朝以前，人们对于现代意义的数学是把他归为数术文化中的一小部分而已。象《汉书·律历志》：“数者，一十百千万也，所以算数事物，顺性命之理。《书》曰：‘先其算命。’……探赜索隐，钩深至远，莫不用焉。”可见，在古人看来，算数之学莫不是与“性命之理”息息相关，只是这一部分的认识，已经不为当今的受现代科学思想限制的人们熟悉或者理解了。恰恰正是这一部分“性命之理”，却与道德修炼真实联系的，也就是说只有修炼的人或者大德之士才能去理解或者阐释这一部分内涵。若了解一些《易》文化的人，就知道《易》既有“义理”之学，又有“象数”之学。北宋大儒邵雍把《易》文化分为意、言、象、数四个层次，和“义理”、“象数”的分法大致相同。后人也把邵雍的易学称为“数学”，这也是因为他大量的使用数的方式来阐释他的易学成就。邵雍的《皇极经世》更是邵雍的“数学”成就的完美体现。而“象数”跟今日的数学理念，已经有研究者发现是紧密相关的。现在仍有一部分海内外学人致力于这方面的工作。

在清朝的《四库全书》中，对于算术与数术已经有所区分，但也不是非常的严格，这主要是因为当时西方的数学体系刚刚進入中国，而数术文化又还在朝野中流传的缘故。到了近现代开始，风气渐变，加之由于这些古代数学的内涵与方法的失传，使得受现代实证科学影响的今人更加难以理解，甚至是误解，造成在中国古代数学问题的认识、传播在现代社会受到阻碍。现在，由于有了修炼人在社会上的出现和在社会的工作，也将给予人们重新认识数学这门科学的真实内涵的机会。

[附录一]

《北史.列传第七十七艺术上.綦母怀文传》记载：

昔在晋阳为监馆，馆中有一蠕蠕客，同馆胡沙门指语怀文云：“此人别有异算术。”仍指庭中一枣树云：“令其布算子，即知其实数。”乃试之，并辨若干纯赤，若干赤白相半。于是剥数之，唯少一子。算者曰：“必不少，但更撼之。”果落一实。

[附录二]

《太平广记》第215卷《算术》中的《曹元理》篇记载：

曹元理尝从真玄兔友人陈广汉。广汉曰：“吾有二囷米，忘其硕数。子为吾计之。”元理以食著十余转曰：“东囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八斗。”遂大署囷门。后出米。西囷六百九十七石七斗九升。中有一鼠，大堪一升。东囷不差圭合。元理后岁复遇广汉，广汉以米数告之。元理以手击床曰：“遂不知鼠之食米，不如剥面皮矣。”广汉为之取酒。鹿脯数脔。元理复算曰：“甘蔗二十五区，应收一千五百三十六枚。蹲鸱三十七亩，应收六百七十三石。千牛产二百犊。万鸡将五万刍。”羊豕鹅鸭，皆道其数。果蓏殽核，悉知其所。乃曰：“此资业之广，何供具之褊。”广汉惭曰：“有仓卒客。无仓卒主人。”元理曰：“俎上蒸肫一头，厨中荔枝一盘，皆可以为设。”广汉再拜谢罪。入取，尽日为欢。其术后传南季。南季传项滔。项滔传子陆。皆得其分数，而失其立妙焉。（出《西京杂记》）

[附录三]

《太平广记》第215卷《算术》中的《袁弘御》篇记载：

后唐袁弘御为云中从事，尤精算术。同府令算庭下桐树叶数。即自起量树，去地七尺，围之。取围径之数布算。良久曰：“若干叶。”众不能覆。命撼去二十二叶，复使算。曰：“已少向者二十一叶矣。”审视之，两叶差小，止当一叶耳。节度使张敬达有二玉碗，弘御量其广深，算之曰：“此碗明年五月十六日巳时当破。”敬达闻之曰：“吾敬藏之，能破否？”即命贮大笼，籍以衣絮，鏁之库中。至期，库屋梁折，正压其笼，二碗俱碎。太仆少卿薛文美同府亲见。（出《稽神录》）