在《周易》里，关于“象”的内涵，有许多变化莫测的使用与解说。不过，《周易·系辞》曰：“在天成象，在地成形，变化见矣。”在此，“象”与“形”的意义基本是一致的。笔者在这里也比较支持并使用这个“象”的内涵。

在欧几里得的《几何原理》里面，关于“点”、“线”、“面”的概念的解说和使用，很接近关于易学中的“象”与“形”的内涵；但是，这里面还是有严格的文化区分在其中，是两种不同的文化体系的解说。至于后来西方文化发展出来的非欧几何，完全是对于欧氏几何原理的逻辑上的新发现或者新突破，而制作出来的，可惜也还未能有本质的文化内涵的突破，这也许和西方的符号文化息息相关吧。那么，笔者试试来看他们的文化区分在哪里呢——

《春秋左氏传·僖公》曰：“龟，象也；筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。”那么，我们看到的情况是，“象”的内涵与事物的整体内涵是直接相关的。大儒邵雍把易学分为“意、言、象、数”四个层次的意义，但并不是将这四者完全分开、隔离开，这么说来，这个“象”的哲学意义直接和“意、言、数”相关。笔者看来，这是不可以分离的。只是后人之学者各有偏好，理解事物的真实内涵各有境界，加上所继承之学术各有偏颇、性情也是不一，所以易之后学繁复杂缛，才又分为义理和象数两种之学。那么说来，“象”与“意、言、象、数”是一个正式而且又真实的整体，分开来说他们，是一种人们知道的意义来表达，而实质的意义是，他们是不可分开的。也即，说到“象”的时候，他就孕育或者蕴涵着“意、言、象、数”的不同层次的意义；说到“数”的时候，也是如此。从这里我们可以看到，“象”的意义，超过一般的抽象的哲学意义，他的整体性的意义可以达到不可言语的“意”的层面。当然，如果从缘起或者起源的角度来看，“象”的内涵跟高境界的修炼内涵有关，比如说“阴阳”，其本身就是一种“象”，后人为了方便理解，所以常把其与“天地”、“男女”、“尊卑”等等内涵相互阐释，而真正的实质是，“阴阳”本身就是独立的“象”或者“意”， “天地”、“男女”、“尊卑”等类似的概念是人世间的人找到与“阴阳”相关连的意义的人世间式的表达，这种表达就是通俗化的表达而已，当然，其中也有实际的意义上的真实的关联。所以，“阴阳”这种类型的“象”，既不能说是具体的“象”，也不能说是抽象的“象”，但是他又能将其在具体的情况下可以成为具体的“象”，或者成为抽象的“象”。这些表现古人修炼到高境界后认识到的事物的规律的概括意义，是能超越一般世人的知识的概念内涵。这也许是易学的“象”的内涵的特殊性所在和超越性所在。

而西方的数学，尤其在几何方面，主要从两个层面表现他们的关于“象”的认识：一个是人的视觉器官；一个是抽象的符号文化所引发的概念性的假设。没有人的视觉器官，就无法对于人世间的状态下的事物進行测量；而人的视觉器官也只是局部的而且有限的看到事物的内涵，不是整体内涵。至于象对于“点”、“线”、“面”这些概念的定义，只能是假设性的定义，也即是直接的假设。至于这种假设为何能建立出人们认为的“科学体系”或者“科学知识”，那是哲学家们具体争议的问题，而对于人类而言，这也只是人类生存状态的局限性所致。人类想要梦想无限的生存，也必须要自己去探索，可惜这是不可能的。

笔者暂时只能分析到以上二者的这种区分。另外，让我们试试补充的谈一下算学与数学的名词内涵的区别。从名词的角度来看，“算学”主要体现在“算”字的意义，而不是局限在对于数字体系的运算内涵的解说；而“数学”这个名词的特点，必须与数字体系相关，人们才能更好的去理解各种运算体系。笔者认为，“算学”的意义，在名词解说上，具有比“数学”更广义的意义和发展内涵在其中。而且，关于“算”字的内涵，也不只是由“加减乘除”来构成了，更多的是表示宇宙中各种事物、生命的运动变化的规律的体现了。有多少事物的运动规律，就有多少“算学”的变化形式或者规律。

六、 未来数学的可能性。

据本人花一段时间考察了中国古代术数文化的感受以后（见笔者所写的《草议治学中国古代历史的方法的几个问题》），深刻的认识到中国古代数学的内涵极为博大精深。这也使得我们不仅只是单单用现代的哲学、逻辑学的思辩的思维方式、思想方法来看待数学的可能性了，而可以是能够用更广义的、更接近生命本质的方式来看待数学的发生与发展变化。这个就涉及到运用修炼内涵的文化或者意义来進行辨别和开拓了。那么，笔者不吝鄙妄，在此试论一下关于未来数学的可能性的具体的想法，以便将来的方家做指教、甄鉴或者发明：

我们首先看南宋数学家秦九韶《数学九章•序》的一段话：“今数术之书尚三十余家不，天象历度谓之缀术，太乙壬甲谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周宫九数。系于方圆为叀（？）术，皆曰外算，对内而言也，其用相通，不可歧二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者，误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行，仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不衍于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事之淆缺矣，可不求其故。”【注8】

这就是关于数学内涵中的“内算”与“外算”的著名论述。据笔者鄙陋认为，当今来自西方的古希腊数学和现代数学，则完全属于“外算”部分。而关于“内算”部分，秦九韶认为属于天文数学内涵和术数文化内涵，其中的“三式”是指著名的太乙神数、六壬和奇门遁甲。不过，秦九韶还认为“内算”与“外算”之间的关系是相对而言的，“其用相通，不可歧二”。这说明了，数学与术数的关系是密切的，这在现代逻辑数学的内涵中，多多少少看到了一些相似的影子。只是现代逻辑学仍然未能触及到数学与生命内涵之间的关系，也未能与性命内涵相关连；所以，现代逻辑走的路子和术数文化是截然不一的。

我们来看一下北宋朝代的《太平广记·第215卷·算术》记载的关于“算术”的故事中，所体现的“数学”（或算学）的思想内涵吧。这一卷是以人物为主题写的故事，当然，这些故事的来源是搜集自宋朝以前的笔记野史。人物分别是：郑玄、真玄兔、曹元理、赵达、李淳风、一行、邢和璞、满师、马处谦、袁弘御。其中李淳风的故事标题用《贞观秘记》，其余用人名。有一些人在正史中是有其人的相关记载，如郑玄、赵达、李淳风、一行，都是可考的真实人物。

在《郑玄》一篇中，一共提到三种算术：一是“算浑天”，就是天文学“浑天说”的算术方法；二是“转式”、“推式以算”，就是古人说的“三式”：太乙神数、奇门遁甲、六壬。今人认为这些是数术类的技能。三是“算乘除”，就是现在的简单的乘除法计算。

在《真玄兔》一篇中，文中说“皇甫嵩、真玄兔、曹元理”三人会算术，皇甫嵩是东汉后期镇压黄巾起义的名将。而真玄兔却能算出自己的岁数和自己死去的具体的日期，相差一天时间。这类算术，今人看来，当是属于数术类的。

在《曹元理》一篇中，曹元理用筷子“十余转”，算出陈广汉的两个大仓库的具体石数（古人的计量粮食单位）和具体数量的农牧资业。这项技能有传乘人，分别是“南季。南季传项滔。项滔传子陆”。这种算术技巧不知如何归类。

在《赵达》一篇中，赵达用占算的方式，解释长沙饥荒的原因，说是余干县的水口有一个鳖形沙洲而造成的。这有点象风水类的技能。

在《贞观秘记》一篇中，李淳风“据玄像，推算”唐朝将有女主代有天下。这里的“玄像”或有人认为是天象，那么这就可能是星象学。

在《一行》一篇中，一行僧人会修历书，造黄道游仪，这些都需要高超的数学知识；又在固定时间里测量日影，然后用勾股法算出中土的南北距离。这是后人说的天文数学。

在《邢和璞》一篇中，“邢和璞好黄老之道，善心算。”至于是什么样的“心算”，无从得知。里面有三则像神话一样的故事，其中第2个故事是转世的，跟算术的直接关联不大。

在《满师》一篇中，“满师善九宫”，有人认为“九宫”是数术的一种；故事内容是算命的。

在《马处谦》一篇中，盲人马处谦会易学占卜。

在《袁弘御》一篇中，后唐时期的袁弘御“尤精算术”，能随即算出树上的树叶或凋落的树叶，也可算出玉碗破碎的时间。

这十篇故事基本都没有雷同之处，而都归于“算术”的内涵，很值得人们深思。我们是到有必要了解真实的“算术”内涵的时候了。

那么，笔者从中国传统文化内涵的角度，大致的设想了未来数学内涵的可能性。因为任何学问都有其复杂性和交叉性；因而笔者在此试试大致做一点举例说明或解说吧：

未来数学的内涵分两大类：一是技术算，一是功能算；

也可以从另外一个角度，即采用南宋秦九韶的说法的名词（但与秦九韶的说法的内涵不完全一致），可分为两大类：一是内算，一是外算。

所谓的现代意义的数学内涵，一般可以统称之为“数算”；他主要是从数字、符号的角度出发，依据人类肉眼看到的、感性的（也包括有一些是人的观念的变化出来的东西）或者通过科技发现的物理（指广义的物理，非是今日说的“物理学”）的各种表面形态与运动形态，来制作出各种各样的数学运算技巧。

而关于“术数文化”，则属于“命算”的内涵。这里的术数文化，不仅包括中国古代的各种术数，还包括其他国家的和西方国家的各种术数。其“命算”的主要特点，就是研究和运算地球、人类及其他与人类紧密相关各类物质的命理现象，可以得出与人自身相关的吉凶的命运内涵。而“命算”的文化内涵与“天人合一”的内涵、与“天命”的内涵、与“神传文化”的内涵是紧密不可分的。所以，“命算”和人类的“性命文化”是不可分的，但重点侧重在命理内涵，里面强调技巧的运用与传授。

至于说到“心算”，那就是一种运用低层次的心理功能的能力做的一种运算技巧。这个一般需要一定的训练，也有部分先天自己带有的，但是会“心算”者不一定完全知道其中心理功能的原理。像人们说的如果您给任何一个10几位数的数字，做加减乘除，心算者就以一般人达不到的速度很快算出来。另外，中外的古代的一些低层次的方术技巧，也带有类似的功能及关于“心算”的内涵。这里的“方术”也就是指人们说的“术类”或者“法术”的东西。一般说来，古代的人们也把“术数”当作“方术”的一种。但是在大部分的“术类”或者“法术”里的东西，实际是一种低层次的人体功能的体现；而“术数”是不完全依赖人体功能来展现其运算内涵；所以笔者就将二者区分开来了，将“术数”单独理解为“命算”的内涵。“心算”的内涵主要表现在“数算”与“命算”的人体的功能化，却不一定得到高层次的“性命文化”内涵，是与低层次的或者与人的文化的数学内涵相关的。严格的说，“心算”应该是人体中一些具体功能的体现。要解释的是，这里用“心”字，主要意思是指人的意念。

而“神算”，在这里主要指是高层次的修炼者，直接运用功能甚至是佛法神通来查看事物运动的真象，或者说是佛法神通的一种表现、一种功能。而普通的人们一般是不理解其中的事物运动的过程的及修炼内涵的玄奥，所以，往往把这些事物运动的真象作为一种运算的内涵或者运算的结果来看待，也即变象的变成了人们比较认可的一种“数学”或者“数学”的一个种类的内涵。但是，对于这些事物的运动的全体真象，不一定都能透露给世人，因为那是天机，所以这类“神算”的内涵往往具有神秘及玄奥的色彩，一般的人也认为必须通过修炼才能理解、认识和看得到，同时其内涵往往具有广义的多层次的指导意义。这里的“多层次”就是高层次和低层次的内涵都有、都包括。

那么说来，“数算”与“命算”的主要共同特点就是可以技术化的运算特色，人们通过学习和训练是能达到掌握这些运算技巧和技术的。所以，“数算”与“命算”二者可以合称为“技术算”。而“心算”与“神算”的主要共同特点是以应用人体功能为主，来对于事物及其运动作为对象来進行研究运算，所以也可合称为“功能算”。只不过，“心算”的功能类似一种低层次的人体功能的技巧，一般人是通过训练可以得出来的；而“神算”必须与修炼和信仰相关联，其得出的关于“数学”方面内涵也不是一般的人们能完全理解到的、明白得了的。

如果从中国古代学术的“性命之学”与“物理之学”的角度来看，则“数算”单纯属于“物理之学”的内涵，“命算”兼有“性命之学”与“物理之学”的内涵，而“心算”与“神算”则主要为“性命之学”的内涵；同时，由“神算”得出的内涵对于“性命之学”与“物理之学”都具有指导意义。所以，“数算”一般可以称为“外算”，“命算”、“心算”与“神算”可以合称为“内算”。不过，说“内算”与“外算”是“不可歧二”的，笔者是比较赞同这一看法的。但从来源性来看，“内算”居先，并对于“外算”具有指导意义。所谓“内”的涵义，可以有相当于“内证”之意，指人遇到问题和困难而都应该向内修，修自己的心性，当然也包括学习或者研究数学的内涵上遇到的各种困难。

那么我们总结以上说法时，我们会看到，从内容来说，数学的学科内涵将得到无穷尽的拓展，表现在：数学这门学问将会建立在以性命文化或者修炼文化为主体（或者为核心）的基础上，形成的对于时空、生命、宇宙、人体和社会的整体的、全面的文化观，由此而创制出各种变幻莫测的运算体系，用以促成人类生命及生活的完善与高尚。

2007年10月14日初稿

【附录一】

现摘录《册府元龟•卷一》如下，读者可以了解一下：

“昔雒出书九章，圣人则之，以为世大法。其初一曰五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。帝王之起，必承其王气。大古之世，鸿荒朴略，不可得而详焉。 庖牺氏之王天下也，继天之统为百王先，实承木德，以建大号。三坟所纪，允居其首。盖五精之运，以相生为德。木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，乘时迭王，以昭统绪。故创业受命之主，必推本乎历数，参考乎徵应，稽其行次。上承天统，春秋之大居正，贵其体元而建极也。前志之论闰位，谓其非次而不当也。共工氏任智，刑以御九域，霸而不王，虽承太昊之後，而不齿五德之序。

神农氏以火承木，故为炎帝；
轩辕有土德之瑞，故号黄帝；
少昊以金德王，故号曰金天氏；
颛顼以水德王，号曰高阳氏；
帝喾以木德王，号曰高辛氏。
帝尧以火德王，号曰陶唐氏。
帝舜以土德王，号曰有虞氏。

繇虞氏以上，皆承运更起，应期正位。

参列五辰之次，而克当统纪。至於正朔、服色之改度，戎祀朝会之所尚，记籍斯逸，罕得而述焉，夏后氏受有虞之禅，是谓金德，正用建寅，其色尚黑； 商汤代夏以水德王，正用建丑，其色尚白； 周武以木德王，正用建子，其色尚赤。

三代之际，各居一统，错综其数，以通其变。顺三微之序，极三才之致，咸享祚长久，盖得夫天历之正也。

三季之衰，秦兼天下，独推五胜不当。

正统汉祖以断蛇之符，上系成周，是为火德，起自沛中，旗帜皆赤。至文帝时，鲁人公孙臣推终始之传，谓汉承秦，当用土德，土德之应，黄龙当见，宜改正朔，服色尚黄。时丞相张苍引河决金��是，以为汉当水德，以十月为正，其色外黑内赤，遂罢公孙臣之议。明年黄龙见，成纪乃用土行，改历服色，而贾谊亦以为然。孝武正历，以正月为岁首，色尚黄，数用五，盖以秦为水德，据汉土而克之，从所不胜，遂顺黄德。刘向父子以为帝出乎震，故庖牺氏姓受木德，以母传子，终而复始。自农轩历唐虞三代，汉得火行，上合天统，当时虽建，厥议未克，遵行世祖，中兴乃用其说。

魏氏始基，有黄星之应。又太史丞许芝言，戊寅黄龙见，此受命之符最著明者也。又《易运期谶》有“黄气授真人出”之言。又太微中，黄帝坐尝明，赤帝坐尝不见，以为黄家兴而赤家衰亡之渐。又荧惑失色，十有馀年，苏林董巴等，又言魏之氏族出自颛顼，与舜同祖。舜以土德承尧之火，今魏亦以土德承汉之火，於行运合，於尧舜授受之次。既而受汉禅，改元黄初。议更正朔，易服色，殊徽号，同律度量，以乘土行，以夏数为得天，即用夏正，而服色尚黄。然尚循汉正朔，弗之改也。明帝在东宫，著论以为五帝三王，虽同气共祖，祖不相袭，正朔自宜改变，以明受命之运。即位久之，从高堂隆之议，乃推三统之次，以魏得地统，遂用建丑之月为正月，服色尚青，牺牲用白，戎事乘黑首白马，建大赤之�澹�朝会建大白之�濉Ｆ胪跛梦唬�以夏正得天，改用建寅为正月。

晋武泰始二年，有司举唐尧舜禹，不易祚改制，至於汤武，始推行数。今晋继三皇舜禹之迹，应天受禅，宜用前代正朔服色，如虞遵唐故事。而史臣之记，晋为金行，服色尚赤。

後魏道武天兴初，始诏有司，议定行次。有司曰：国家继黄帝之後，宜为土德，有土畜之瑞，及黄星之符。遂从土德。服色尚黄，数用五，牺牲用白，行夏之正。孝文太和中下诏，以丘泽初制，配尚宜定，五德相袭，论有异常。帝令百辟集议，高闾以为汉用火德，徵斩蛇之符，上继於周，弃秦之暴，越恶承善，不以世次为正。自时厥後，乃以为常。

魏承汉火生土，故魏为土德；
晋承魏土生金，故晋为金德；
赵承晋金生水，故赵为水德；
燕承赵水生木，故燕为木德；
秦承燕木生火，故秦为火德。

今魏宜承秦为土德。李彪、崔光等，以为宜绍晋金德，不当次於僭伪。建议各殊，称年不定。既而穆亮等大臣共议，宜上承晋世，定为水德。孝文下诏，特从其说。

後周革命，有赤雀之祥，群臣奏议，请更正朔，定为木行，以承水德，服色尚乌。

隋文受禅，次用火德，以有赤光之瑞，车服旌旗，悉皆尚赤。而帝服戎服，悉皆以黄。

唐氏承统，盛德在土。至开元中，有请改为金德者，终报罢之。天宝中，令诸卫绯色幡，改为赤黄色，以应土德。

朱梁建国，如秦之暴，虽宅中夏，不当正位。同光缵服，再承绝绪。

晋承唐後，是为金德，汉氏承晋，实当水行。

周祖即位之初，有司定为木德。

自伏羲氏以木王，终始之传，循环五周，至於皇朝。以炎灵受命，赤精应谶，乘火德而王。混一区夏，宅土中而临万国，得天统之正序矣。”

注解：

1、见“数学网”：http://www.edp.ust.hk/math/，其中关于数学史年表的网页是：htt
p://www.edp.ust.hk/math/history/1/1_1/result.asp
2、见“维基百科，自由的百科全书”网，关于数学的辞典解释在：http://zh.wikipedi
a.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6
3、《读易提要》潘雨廷著，张文江整理，上海古籍出版社，2003年3月版。第93页。
4、见“正见网”。
5、参见吾文《浅谈邵雍的历史观》。
6、《读易提要》潘雨廷著，张文江整理，上海古籍出版社，2003年3月版。第93页。
7、转自文章《内算与外算》，俞晓群著，载于杂志《文史知识》1991年第10期，第89页。中华书局出版。
8、转自《易学基础教程》第367页，朱伯崑主编，九州出版社，2002年1月第3次印刷。