算术漫谈：由河图推演先天八卦

请看文的朋友搜索一下正见网，有正悟的文章《正悟中华文化系列》，正是看过此文，以及更早前梅花一点的文章，深受二位之启发，我才开始算术漫谈的。

该系列在第一篇中探讨了河图洛书，文章里面写道：“相传上古三皇的伏羲氏时，黄河中现一龙马(龙头马身)，背上有黑白点子构成的一幅图，伏羲据此而演八卦，此图名曰‘河图’。有很多人都推导过这过程，均失败了，就有人以为这是传说，其实是真的，我后面篇幅会讲八卦如何演生出来的。”该文已经登出好几个月了。

那么八卦到底是如何由河图演生出来的呢？这个话题，大概很多人也会有兴趣。作此篇，探讨一下如何由河图推演八卦。这里的写法，纯粹是以算术为基础展开各种线索的，立论是新颖的。实际上，在这个算术漫谈中，我是尽力避免引用故纸堆中的说法，这样会更纯净轻松。

河图用了十，卦却只有八。不用五与十，还有一、二、三、四、六、七、八、九这八个数。要建立河图与八卦的映射，关键在于处理好数与卦的对映关系。

太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。一变为二，二变为四，四变为八。一之倍数者，为二；二之倍数者，为四；四之倍数者，为八。

十之半数者，为五；五之半数者，取整为二；二之半数者，为一。

加者为阳，减者为阴。

有倍有半，有加有减，如此河图可演八卦。十为始，先经五之加减，又经二之加减，复经一之加减，如此三变，十可化生八数，八数可映八卦。

太极生两仪：

十，加五，得十五，此为阳；
十，减五，得五，此为阴。

两仪生四象：

十五，加二，得十七，此为阳阳；
十五，减二，得十三，此为阳阴；
五，加二，得七，此为阴阳；
五，减二，得三，此为阴阴。

四象生八卦：

十七，加一，得十八，半数为九，此为阳阳阳；
十七，减一，得十六，半数为八，此为阳阳阴；
十三，加一，得十四，半数为七，此为阳阴阳；
十三，减一，得十二，半数为六，此为阳阴阴；
七，加一，得八，半数为四，此为阴阳阳；
七，减一，得六，半数为三，此为阴阳阴；
三，加一，得四，半数为二，此为阴阴阳；
三，减一，得二，半数为一，此为阴阴阴。

依照先天八卦，卦名与阴阳卦爻的对映关系如下：

阳阳阳，此为乾卦；
阳阳阴，此为兑卦；
阳阴阳，此为离卦；
阳阴阴，此为震卦；
阴阳阳，此为巽卦；
阴阳阴，此为坎卦；
阴阴阳，此为艮卦；
阴阴阴，此为坤卦。

十历经三变，所得取半数，化为一、二、三、四、六、七、八、九。

十变为九，历经加五加二加一，对映阳阳阳，此为乾卦；
十变为八，历经加五加二减一，对映阳阳阴，此为兑卦；
十变为七，历经加五减二加一，对映阳阴阳，此为离卦；
十变为六，历经加五减二减一，对映阳阴阴，此为震卦；
十变为四，历经减五加二加一，对映阴阳阳，此为巽卦；
十变为三，历经减五加二减一，对映阴阳阴，此为坎卦；
十变为二，历经减五减二加一，对映阴阴阳，此为艮卦；
十变为一，历经减五减二减一，对映阴阴阴，此为坤卦。

这样，我们就由河图推演出了八卦。

按照先天八卦的顺序，八卦环状排列，反时针方向依次为：乾卦，兑卦，离卦，震卦，坤卦，艮卦，坎卦，巽卦。

兑乾巽
离中坎
震坤艮

在环状排列的八卦图中，将每个卦换成对映的数字，中间写上数字五，又可得如下数字图式。

八九四
七五三
六一二

有趣的是，这个数字图式，天然符合相对数字之和为十。如果将数字二和八调换，所得正好是洛书。注意，这个洛书和普通的排列，正好是左右翻转了。

二九四
七五三
六一八

古人云：窥其题意，辨其指归。本篇属作者己见，仅供参考。