也谈“龟兔赛跑悖论”

看了正见网上的两篇文章“一个不寻常的悖论”(6月4日)和“剖析‘龟兔赛跑悖论’”(8月24日) 之后，也想来说一说自己个人的看法，不妥之处，敬请同修们指正。

我们首先用尽可能简单明确的逻辑分析，从不同角度直接了当地指出芝诺悖论的错误所在，然后再回过头来讨论这个悖论产生的背景和它在数学、哲学方面可能的价值和影响。为了让尽可能多的读者都能清楚地理解，我们采用“特殊化、具体化”的分析证明方法。但有兴趣的读者可以验证，下面采用的“特殊”和“具体”的时间、距离和速度，都可以换为任何“一般”或者“抽象”的数字变量，龟兔之间的距离也可用其他定义，这些都不影响整个分析和证明过程的正确性。

假定时间以秒为单位，乌龟每秒爬一步，其步长为十分之一米；兔子每秒跳一步，其步长为一米，亦即兔子的速度为乌龟的十倍。又假定赛跑开始时，兔子让乌龟领先十米，即乌龟在兔子前面十米的地方与兔子同时起跑。龟兔之间的距离以它们头部最前端的一点为准。

根据常识，兔子很快就会赶上并超过乌龟。要知道兔子赶上乌龟的具体时间，一个一元一次方程就够了，实际上就是作一个除法(10 + 0.1t = t, 11＜t ＜12)。因此到赛跑开始后12秒，兔子已经把乌龟抛到身后(0.8米)了。

但芝诺说，兔子追不上乌龟，理由是：兔子跑完十米要用十秒钟，在这十秒钟内，乌龟又爬了一米；兔子跑完这一米要用一秒，乌龟在这一秒内又爬了十分之一米；兔子跑完这十分之一米要用十分之一秒，乌龟在这十分之一秒内又爬了百分之一米；…… 如此下去，虽然兔子离乌龟越来越近，但却永远不会赶上乌龟。

读到这里，细心的读者可能会看到问题所在了：当龟兔之间的距离不大于一米 (即兔子步长) 时，芝诺便强迫兔子改变它的跑法，不是每秒跳一次，每次跳一米，而是每十分之一秒跳一次，每次跳十分之一米；当龟兔之间的距离不大于十分之一米时，芝诺又强迫兔子改变它的跑法：每百分之一秒跳一次，每次跳百分之一米；…… 不但如此，自从龟兔之间的距离不大于十分之一米(即乌龟步长)以后，乌龟也被芝诺逼着不断地改变自己的爬法：频率越来越高，步长越来越小。随着龟兔之间的距离越来越短，芝诺便把这两个活生生的动物变成了两个高频振动的质点，而且频率还永远不停地增加！先且不说芝诺把两个动物变为两个质点后所作的数学推理是否正确(参见后面的分析)，这个推理的结论无论如何也不能拿回来套到那两个可怜的动物头上去，因为芝诺在他的逻辑推理中已经改变了关于乌龟和兔子运动方式的前提。

作为笑话，我们来考虑龟兔之间距离小于一毫米 (即千分之一米) 时的情形。这样的距离，兔子每次只能跳万分之一米，但必须每秒钟跳一万次；乌龟每次只能爬十万分之一米，也必须每秒钟爬一万次。为了满足芝诺给它们规定的运动方式，它们只有让自己身上的每一块肌肉作最轻微最快速的颤抖，就象感冒发烧或“打摆子”时一样。只要一不小心，就可能让芝诺“永远跑下去”的希望落空。比如说，只要乌龟一缩头，或者兔子一伸颈，比赛立分胜负，芝诺的计划便破产了。因此，缩头和伸颈虽然是乌龟和兔子平时的习惯动作，但这时也不准做。可见芝诺这个方法不但如上面分析的不合“理”，而且还非常地不合“情”，简直就是对龟兔施加酷刑。当时如果有“保护动物运动”，芝诺一定难逃指责和控诉。

芝诺的逻辑错误，为什么古往今来会有许多人想不明白呢？其实，笔者认为，这个悖论的真正价值之一，就在于它暴露了人们逻辑思维中的许多弱点、缺点和易犯的错误，比如：思维的惯性，思维的表面化、概念化和模式化，假定与推理不相容，推理与结论不相容，等等，都在这个悖论中反映出来。

下面我们作一个简要的讨论。思维的惯性：在前面的十一秒中，芝诺保持了正确的前提。只是在眼看兔子再一跳(第十二跳)就要结束比赛时，芝诺才改变了推理的前提。由于同一推理过程中搀杂了正确与错误的两种前提，人的思维惯性便因为前一段正确的前提而忽略了后面一段改变了的错误前提；表面化、概念化和模式化：在考虑时间--速度--距离这一类问题时，人们已经习惯性地、概念化地，甚至条件反射式地用现成的方法去解答这一类问题，总是死死抓住速度、时间和距离去硬套公式。但芝诺从来没有改变乌龟和兔子的速度。他在改变它们的运动频率的同时，也改变它们的步伐长度，以此来保证它们的速度不变。因此人们不容易注意到他改变前提的错误；前提与推理不相容：芝诺的推理过程，当龟兔之间的距离小于或等于十分之一米时，便与前提相悖了。因此，如果承认他的推理，则实际上改变了前提；如果非要保持前提不变，则只好纠正他的推理。在我们的分析中，为明显起见，我们让他保持自己的推理，而指出他改变了前提。如上所说，芝诺是从第十一秒后才开始改变前提的，因此这种不相容也是从第十一秒后才开始的，因此也就特别地具有不易察觉的特点；推理与结论不相容：这个错误是芝诺悖论的最本质但又最难识破的错误。我们在分析中挑出了“改变前提”这一个最明显的错误。当时可能就有聪明的读者在想：“如果把龟兔换成自行车和汽车呢？”不错，那样便不存在“改变前提”这一错误了。但推理与结论不相容的错误却始终改变不了。我们不妨用自行车和汽车(甚至两个抽象的质点)来重复一次芝诺的推理过程：汽车跑完十米用十秒，这十秒钟内自行车又跑了一米；汽车跑这一米又用一秒，这一秒内自行车又跑十分之一米；汽车又用百分之一秒跑这十分之一米，自行车又跑了百分之一米……如此下去，汽车和自行车越来越近，但永远也追不上自行车。在这里，芝诺的推理过程是：在第十一秒之后，每十分之一秒，每百分之一秒，每千分之一秒……的时候，汽车与自行车的距离越来越短，但是自行车始终在汽车前面，这没有错。但芝诺从此以后始终没有跨出第十二秒这个时间段去。他只是把第十二秒这关键的一秒钟反复细分，指出在每一个细分点两车的距离和他最关心的事实：自行车在汽车前面。但他回避了一个问题：第十二秒后自行车和汽车谁在前面？而且他把他的结论的时间换成了“永远”，不但包括第十二秒，第十三秒，还包括任何一个更后面的时间！其实，芝诺的推理和他的结论可以说没有逻辑上的因果关系：他告诉我们，在第十二秒内的某些个时候，自行车总在汽车前面；等我们一点头，他马上说，第十二秒以后，甚至那以后的任何时候，自行车都在汽车前面！他的推理过程的关键部份是在第十二秒这一秒钟之内的某些分点上得到的，但他的结论却把时间外延到任何一个时候。这里，他不但利用了思维的惯性，而且利用了多数人思维的黏滞、含混和条理不清等弱点。

芝诺这些论据(其中有些后来成为有名的“悖论”)对于后世数学的影响似乎并无定论。但在二千四百多年前，芝诺在阿基里(即龟兔赛跑)悖论里把“逐次逼近法”这个一千多年后才广泛应用的数学工具的基本思想表述到如此清楚的程度，实在令人惊叹。不过因其在应用时缺乏严格的概念定义和明晰的语义，因此结果并不令人满意。人们对他独特、超群的思辩方法感到兴奋、惊奇，甚至振惊。芝诺对后世哲学的影响比较确定。亚里士多德把他尊为“辩证法的发明者”。他的许多悖论向人们显示了，司空见惯的东西也可能包含十分荒谬的成份，因此对已被确信或者貌似有理的结论都值得重新检验。

由于芝诺当时的目的是反对“科学”的一派(毕达哥拉斯被后世认为是科学萌芽时期的先驱)，他所用的方法也没有直接影响到后世科学的发展，因此把他的逻辑错误当作科学思维的缺陷似乎就不很恰当。即便是在分析、解剖和批判现代科学的局限性时，特别是逻辑思维的局限性时，我们也要尽可能分清逻辑方法本身的缺陷和使用逻辑方法的人自己的错误。

作为法轮大法修炼者，我们知道，真正探索宇宙高层的真理，那是修炼人通过不断提高心性后直接了当的观察所得到的，不是凭逻辑推理所能得到的。也就是说，逻辑的方法本身是有很大局限性的。但即便如此，不但是一般人，多数科学家实际上终生都一直在逻辑思维的泥潭中挣扎。许多科学假设，包括那些当今很有名的，在逻辑上都不是完美无缺的。