算术漫谈：六角星数与立体八卦

我们这个地球上，有许多人，都在琢磨数字142857。142857，是一个有趣的数，我们称为六角星数。

九数给大家介绍一位洋人研究者。《新纪元周刊》第233期，刊登了一篇有趣的文章，文章的题目是《“国中国”王子密码》。有兴趣的朋友，可以找来看看。

本文中，九数采用了一种全新的方法，对六角星数142857作出解析。我们将看到，这个数字与立体八卦密切相关。特别有趣的是，我们发现，这个数字与《转法轮》页码也有特殊的因缘。

（一）六角星数
如果我们在有理数中寻找有趣味的数，那么毫无疑问，六角星数142857会入选。有许多人，经常用这个数做计算游戏。

（1）趣味乘法
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
142857 × 7 = 999999 = 10^6 – 1

（2）循环小数
1 ÷ 7 = 0.142857 142857 142857 ......
2 ÷ 7 = 0.285714 285714 285714 ......
3 ÷ 7 = 0.428571 428571 428571 ......
4 ÷ 7 = 0.571428 571428 571428 ......
5 ÷ 7 = 0.714285 714285 714285 ......
6 ÷ 7 = 0.857142 857142 857142 ......
7 ÷ 7 = 0.999999 999999 999999 ...... = 1

人们注意到，六角星数142857，所代表的乘法和除法，是一个庞大的族群。之所以选取142857为“n角星数”的代表，完全是因为这个数最简单。
一般而言，任意取一个大于5的质数p，我们都可以计算出1 ÷ p = 0. abcdef......，观察小数点后的循环节，都会看到类似的规律。操纵这个规律的，是一条有趣的数论定理：a^p=a(模p)。a的p次方与a的差，总是p的倍数。
我们这里的六角星数142857，正好是定理在a=10,p=7时的情形。

（二）立体八卦
我们想要对六角星数给出新的解析，如何才能够实现呢？
大约三年前，九数知道用八卦即可。只是，后来的“算术漫谈”以“黄金分割”为主，一直没有将六角星数记录成文。
我们考虑，用空间中的点（a,b,c）来表示八卦,这里约定a,b,c的取值为+1或-1。
我们注意到，每个字母有两个不同的取值，依此a,b,c自由取值，恰好有2×2×2=8个不同的组合。很明显，（±1，±1，±1），正好能够与八卦建立起单一的映射。
我们约定：坐标a表示下爻,坐标b表示中爻,坐标c表示上爻。我们又约定：数字+1，表示阳爻—；数字-1，表示阴爻- -。
依照这样的约定，（a,b,c）=（±1，±1，±1），恰好能够表示全部的八卦。

（1）先天八卦
北宋理学家邵雍，给出了先天八卦的排序，乾一兑二离三震四巽五坎六艮七坤八。我们按照这样的次序记录八卦。
兑乾巽←→二一五
离卦坎←→三序六
震坤艮←→四八七

乾卦第一，(+1,+1,+1)，下爻为阳—，中爻为阳—，上爻为阳—；
兑卦第二，(+1,+1,-1), 下爻为阳—，中爻为阳—，上爻为阳- -；
离卦第三，(+1,-1,+1), 下爻为阳—，中爻为阴- -，上爻为阳—；
震卦第四，(+1,-1,-1), 下爻为阳—，中爻为阴- -，上爻为阴- -；
巽卦第五，(-1,+1,+1), 下爻为阴- -，中爻为阳—，上爻为阳—；
坎卦第六，(-1,+1,-1), 下爻为阴- -，中爻为阳—，上爻为阴- -；
艮卦第七，(-1,-1,+1), 下爻为阴- -，中爻为阴- -，上爻为阳—；
坤卦第八，(-1,-1,-1), 下爻为阴- -，中爻为阴- -，上爻为阴- -。

当初，解析几何从西方传入中国的时候，人们注意到三个相互垂直的坐标平面把空间分成八个部分，并将每一部分称为一个卦限。今天，我们回头认识传统文化，发现这个“卦限”的命名，真是高明之见。

（2）立体八卦
我们在空间中选取八卦所对映的八个点，以此作为顶点，画出一个正方体SEDC—AFNB,其下底面为正方形SEDC,上底面为正方形AFNB。这里的字母，按照逆时针顺序排列，S→E→D→C，A→F→N→B。
①上底面：正方形AFNB
B巽卦(-1,+1,+1)-------------------N乾卦(+1,+1,+1)
A艮卦(-1,-1,+1)-------------------F离卦(+1,-1,+1)
②下底面：正方形SEDC
C坎卦(-1,+1,-1)-------------------D兑卦(+1,+1,-1)
S坤卦(-1,-1,-1)-------------------E震卦(+1,-1,-1)

（三）平面投影
《汉书》说，易有八卦，乾坤六子。
邵雍又说，乾坤纵而六子横。

九数仔细琢磨这个“乾坤纵”，考虑让这个正方体，按照乾坤为轴，纵向立起来用。此时，NS为轴，N乾在上方，S坤在下方，保持NS与桌面垂直。
我们注意到，△ACE是正三角形，△BDF也是正三角形，这两个三角形在桌面上的投影，仍然是正三角形，分别记作△A′C′E和△B′D′F′。
同时，△A′C′E和△B′D′F′重叠，正好构成一个六角星，其六个顶点顺时针排列，正好是A′，B′，C′，D′，E′，F′。
A′←→A艮卦(-1,-1,+1)
B′←→B巽卦(-1,+1,+1)
C′←→C坎卦(-1,+1,-1)
D′←→D兑卦(+1,+1,-1)
E′←→E震卦(+1,-1,-1)
F′←→F离卦(+1,-1,+1)

（四）数字映射
我们已经将立体八卦投影在平面上了，得到了一个六角星。这个六角星的中心，恰好是正六边形A′B′C′D′E′F′的旋转中心。

（1）被除数
我们的除法算式有六个，分别是1÷7，2÷7，3÷7，4÷7，5÷7，6÷7。这里的除数不变，都是7；而被除数，分别是1，2，3，4，5，6。
我们需要在六个卦象与六个被除数之间，建立起一个一一映射。
我们考虑，任取一个卦(a,b,c),将其映射为数[7+4×a+2×b+1×c]÷2。
A′艮卦第七，(-1,-1,+1) , 映射为[7+4×(-1)+2×(-1)+1×(+1)]÷2=1；
B′坎卦第六，(-1,+1,-1) , 映射为[7+4×(-1)+2×(+1)+1×(-1)]÷2=2；
C′巽卦第五，(-1,+1,+1) , 映射为[7+4×(-1)+2×(+1)+1×(+1)]÷2=3；
D′震卦第四，(+1,-1,-1) , 映射为[7+4×(+1)+2×(-1)+1×(-1)]÷2=4；
E′离卦第三，(+1,-1,+1) , 映射为[7+4×(+1)+2×(-1)+1×(+1)]÷2=5；
F′兑卦第二，(+1,+1,-1), 映射为[7+4×(+1)+2×(+1)+1×(-1)]÷2=6。

（2）循环节
我们计算1÷7，得到的循环节是142857。其余的k÷7，所得循环节，只是1，4，2，8，5，7这六个数字的某种排列。
同样，我们也需要在六个卦象与循环节的六个数字之间，建立起一个一一映射。
我们考虑，任取一个卦(a,b,c),将其映射为数[9+6×a+3×b+2×c]÷2。
A′艮卦第七，(-1,-1,+1) , 映射为[9+6×(-1)+ 3×(-1)+ 2×(+1)]÷2=1；
B′坎卦第六，(-1,+1,-1) , 映射为[9+6×(-1)+ 3×(+1)+ 2×(-1)]÷2=2；
C′巽卦第五，(-1,+1,+1) , 映射为[9+6×(-1)+ 3×(+1)+ 2×(+1)]÷2=4；
D′震卦第四，(+1,-1,-1) , 映射为[9+6×(+1)+ 3×(-1)+ 2×(-1)]÷2=5；
E′离卦第三，(+1,-1,+1) , 映射为[9+6×(+1)+ 3×(-1)+ 2×(+1)]÷2=7；
F′兑卦第二，(+1,+1,-1), 映射为[9+6×(+1)+ 3×(+1)+ 2×(-1)]÷2=8。

（五）转盘结构
为了看清数据之间的结构，我们考虑用几何形体放置数据。

（1）顺时针转
我们画出一个转盘结构，这个转盘由五层构成，每层分解为六个均等的区域。
第一层，顺次写上“顶点”，第二层写上“卦象”，第三层写上“坐标”，第四层写上“被除数”，第五层写上“循环节”。
各层区域的排列如下表所示。
顶点→卦象→坐标(a,b,c) →k为被除数（k÷7）→*为首位（******）
A′→艮卦→ (-1,-1,+1) →1为被除数（1÷7）→1为首位（142857）
B′→巽卦→ (-1,+1,+1) →3为被除数（3÷7）→4为首位（428571）
C′→坎卦→ (-1,+1,-1) →2为被除数（2÷7）→2为首位（285714）
D′→兑卦→ (+1,+1,-1) →6为被除数（6÷7）→8为首位（857142）
E′→震卦→ (+1,-1,-1) →4为被除数（4÷7）→5为首位（571428）
F′→离卦→ (+1,-1,+1) →5为被除数（5÷7）→7为首位（714285）

我们举一个例子。比方说，选取了顶点B′所在的区域。
我们得到一个数据链条：B′→巽卦→ (-1,+1,+1) →3为被除数（3÷7）→4为首位（428571）
表达的意思是：
兑卦，映射到被除数是3，除法算式为3÷7，乘法算式为3×142857；
兑卦，映射到循环节是8，8为首位数字，按照B′→C′→D′→E′→F′→A′→......的次序顺时针绕圈，得到小数点后428571循环。
所得结果，以除法算式表达为3÷7=0.428571循环，以乘法算式表达为3×142857=428571。

（2）卦象互补
我们看到，相对区域，卦象互补，是这个转盘的显著特征。卦象的互补，必然造成相对区域的数字加法等和。
①A′与D′相对，艮与兑互补，被除数1+6=7，循环节1+8=9；
②B′与E′相对，巽与震互补，被除数3+4=7，循环节4+5=9；
③C′与F′相对，坎与离互补，被除数2+5=7，循环节2+7=9。

（3）内外相关
我们知道，被除数与循环节，都与卦象相映。隐去卦象，被除数与循环节，二者之间还有直接的连系。
①A′与B′相邻，（1，3）→1，算式（10×1–3）÷7=1；
②B′与C′相邻，（3，2）→4，算式（10×3–2）÷7=4；
③C′与D′相邻，（2，6）→2，算式（10×2–6）÷7=2；
④D′与E′相邻，（6，4）→8，算式（10×6–4）÷7=8；
⑤E′与F′相邻，（4，5）→5，算式（10×4–5）÷7=5；
⑥F′与A′相邻，（5，1）→7，算式（10×5–1）÷7=7。

（六）数字因缘
《转法轮》全书，每一讲都具有独立的篇幅。当上一讲在第n页结束时，下一讲就在第n+1页开始了。每一讲的篇幅，都具有完整的页码。

（1）始终页码
我们翻开《转法轮》，从第一讲到第九讲，记录每一讲开始的页码和结束的页码。
第一讲，从第1页开始，到第40页结束。
第二讲，从41页开始，到第80页结束。
第三讲，从第81页开始，到第124页结束。
第四讲，从第125页开始，到第157页结束。
第五讲，从第158页开始，到第182页结束。
第六讲，从第183页开始，到第228页结束。
第七讲，从第229页开始，到第260页结束。
第八讲，从第261页开始，到第294页结束。
第九讲，从第295页开始，到第332页结束。

（2）独立篇幅
根据前面的“始终页码”，我们能够计算出每一讲所具有的独立篇幅。
第一讲，包含四十页。40。记作a[1]=40。
第二讲，包含四十页。80-40=40。记作a[2]=40。
第三讲，包含四十四页。124-80=44。记作a[3]=44。
第四讲，包含三十三页。157-124=33。记作a[4]=33。
第五讲，包含二十五页。182-157=25。记作a[5]=25。
第六讲，包含四十六页。228-182=46。记作a[6]=46。
第七讲，包含三十二页。260-228=32。记作a[7]=32。
第八讲，包含三十四页。294-260=34。记作a[8]=34。
第九讲，包含三十八页。332-294=38。记作a[9]=38。
我们注意到，以上九个数据中，单数有二个，双数有七个。
由于双数中有重复的，我们实际得到了六个不同的双数：a[2]=40，a[3]=44，a[6]=46，a[7]=32，a[8]=34，a[9]=38。

（3）雪花图案
我们先画一个正六边形ABCDEF。其中，顶点字母A,B，C,D,E,F按照顺时针排列。
然后，我们依次在每个顶点放置数据：
在顶点A处，放置第七讲a[7]=32页；
在顶点B处，放置第九讲a[9]=38页；
在顶点C处，放置第八讲a[8]=34页；
在顶点D处，放置第六讲a[6]=46页；
在顶点E处，放置第二讲a[2]=40页；
在顶点F处，放置第三讲a[3]=44页。
在上一篇“算术漫谈”中，我们记录过此种雪花图案蕴涵的数字现象。

现在，我们考虑一个线性映射：k→（k-30）÷2，这里k为双数页码。
顶点A：第七讲a[7]=32页，映射为（32-30）÷2=1；
顶点B：第九讲a[9]=38页，映射为（38-30）÷2=4；
顶点C：第八讲a[8]=34页，映射为（34-30）÷2=2；
顶点D：第六讲a[6]=46页，映射为（46-30）÷2=8；
顶点E：第二讲a[2]=40页，映射为（40-30）÷2=5；
顶点F：第三讲a[3]=44页，映射为（44-30）÷2=7。
我们看到，六角星数142857，与《转法轮》页码，二者之间有一种奇妙的数字因缘。六角星数，与雪花图案，至此密不可分。

本文只是九数的一点个人粗浅认识，仅供参考。