【正见网2015年11月22日】
图论是具有应用价值的一门数学，起源于一些趣味游戏问题。瑞士人欧拉，是十八世纪最杰出的数学家。欧拉获得的早期图论研究成果，使得他被称为图论奠基人。欧拉在研究棋盘跳马时，获得了一个有趣的马步方阵。
这篇短文中，九数将《周易》卦序置换作用于欧拉的马步方阵，得到一个八行八列的卦序方阵；然后，我们对卦序方阵作一点计算，观察卦序方阵蕴涵的黄金分割现象。结果表明，欧拉方阵在《周易》卦序置换的作用下，演化为一个奇异黄金方阵。
（一）《周易》卦序
我们记录通行本《周易》卦序，书分上下二篇。以“上经”与“下经”标记。
上经：乾卦第一，坤卦第二，屯卦第三，蒙卦第四，需卦第五，讼卦第六，师卦第七，比卦第八，小畜第九，履卦第十，泰卦第十一，否卦第十二，同人第十三，大有第十四，谦卦第十五，豫卦第十六，随卦第十七，蛊卦第十八，临卦第十九，观卦第二十，噬嗑第二十一，贲卦第二十二，剥卦第二十三，复卦第二十四，无妄第二十五，大畜第二十六，颐卦第二十七，大过第二十八，坎卦第二十九，离卦第三十。
下经：咸卦第三十一，恒卦第三十二，遯卦第三十三，大壮第三十四，晋卦第三十五，明夷第三十六，家人第三十七，睽卦第三十八，蹇卦第三十九，解卦第四十，损卦第四十一，益卦第四十二，夬卦第四十三，姤卦第四十四，萃卦第四十五，升卦第四十六，困卦第四十七，井卦第四十八，革卦第四十九，鼎卦第五十，震卦第五十一，艮卦第五十二，渐卦第五十三，归妹第五十四，丰卦第五十五，旅卦第五十六，巽卦第五十七，兑卦第五十八，涣卦第五十九，节卦第六十，中孚第六十一，小过第六十二，既济第六十三，未济第六十四。
（二）邵雍方图
北宋理学家邵雍，有先天六十四卦方图传世。
坤卦01，剥卦02，比卦03，观卦04，豫卦05，晋卦06，萃卦07，否卦08；
谦卦09，艮卦10，蹇卦11，渐卦12，小过13，旅卦14，咸卦15，遯卦16；
师卦17，蒙卦18，坎卦19，涣卦20，解卦21，未济22，困卦23，讼卦24；
升卦25，蛊卦26，井卦27，巽卦28，恒卦29，鼎卦30，大过31，姤卦32；
复卦33，颐卦34，屯卦35，益卦36，震卦37，噬嗑38，随卦39，无妄40；
明夷41，贲卦42，既济43，家人44，丰卦45，离卦46，革卦47，同人48；
临卦49，损卦50，节卦51，中孚52，归妹53，睽卦54，兑卦55，履卦56；
泰卦57，大畜58，需卦59，小畜60，大壮61，大有62，夬卦63，乾卦64。
（三）遍历棋盘
图论历史上，有一个有趣的“周游世界”问题，最初被称为“骑士周游世界”。这个问题，是在国际象棋棋盘上表述的。
【问题】在八行八列的国际象棋棋盘上，象棋中的马（又称骑士），能否从某个格子出发，不重复的跳遍所有的六十四个格子，最后回到起点?
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西元1757年，欧拉在写给哥德巴赫的一封信中，给出了骑士周游世界问题的一种解法。
两年后，欧拉专门发表了讨论各种棋盘的骑士周游世界问题的论文。
（四）欧拉方阵
在研究骑士周游世界问题的过程中，欧拉得到了一个有趣的八阶方阵。
01， 48， 31， 50， 33， 16， 63， 18；
30， 51， 46， 03， 62， 19， 14， 35；
47， 02， 49， 32， 15， 34， 17， 64；
52， 29， 04， 45， 20， 61， 36， 13；
05， 44， 25， 56， 09， 40， 21， 60；
28， 53， 08， 41， 24， 57， 12， 37；
43， 06， 55， 26， 39， 10， 59， 22；
54， 27， 42， 07， 58， 23， 38， 11。
这个八阶方阵，有两个最显著的特点。
其一，按照01→02→03→……→63→64的线路走完，恰好每一步都符合国际象棋棋盘上跳马的规则。而且，□格子中摆放的都是单数，■格子中摆放的都是双数。
其二，按照南宋杨辉纵横图的要求，正好符合洛书模式，纵横斜三个方向八数等和。每行和为260，每列和为260，每条对角线和为260。
（五）卦象排列
我们将欧拉方阵中的数字，按照邵雍方图，置换为卦象，得到一个八行八列的卦象方阵。
坤卦， 同人， 大过， 损卦， 复卦， 遯卦， 夬卦， 蒙卦；
鼎卦， 节卦， 离卦， 比卦， 大有， 坎卦， 旅卦， 屯卦；
革卦， 剥卦， 临卦， 姤卦， 咸卦， 颐卦， 师卦， 乾卦；
中孚， 恒卦， 观卦， 丰卦， 涣卦， 大壮， 益卦， 小过；
豫卦， 家人， 升卦， 履卦， 谦卦， 无妄， 解卦， 小畜；
巽卦， 归妹， 否卦， 明夷， 讼卦， 泰卦， 渐卦， 震卦；
既济， 晋卦， 兑卦， 蛊卦， 随卦， 艮卦， 需卦， 未济；
睽卦， 井卦， 贲卦， 萃卦， 大畜， 困卦， 噬嗑， 蹇卦。
（六）序数方阵
有了卦象方阵，我们将《周易》卦序数字抄写在卦名旁边，得到一个八行八列的序数方阵。
坤卦02， 同人13， 大过28， 损卦41， 复卦24， 遯卦33， 夬卦43， 蒙卦04；
鼎卦50， 节卦60， 离卦30， 比卦08， 大有14， 坎卦29， 旅卦56， 屯卦03；
革卦49， 剥卦23， 临卦19， 姤卦44， 咸卦31， 颐卦27， 师卦07， 乾卦01；
中孚61， 恒卦32， 观卦20， 丰卦55， 涣卦59， 大壮34， 益卦42， 小过62；
豫卦16， 家人37， 升卦46， 履卦10， 谦卦15， 无妄25， 解卦40， 小畜09；
巽卦57， 归妹54， 否卦12， 明夷36， 讼卦06， 泰卦11， 渐卦53， 震卦51；
既济63， 晋卦35， 兑卦58， 蛊卦18， 随卦17， 艮卦52， 需卦05， 未济64；
睽卦38， 井卦48， 贲卦22， 萃卦45， 大畜26， 困卦47， 噬嗑21， 蹇卦39。
（七）行列求和
接下来，我们对序数方阵作一点计算。
（1）横向计算
第一行，和为02+13+28+41+24+33+43+04=188。
第二行，和为50+60+30+08+14+29+56+03=250。
第三行，和为49+23+19+44+31+27+07+01=201。
第四行，和为61+32+20+55+59+34+42+62=365。
第五行，和为16+37+46+10+15+25+40+09=198。
第六行，和为57+54+12+36+06+11+53+51=280。
第七行，和为63+35+58+18+17+52+05+64=312。
第八行，和为38+48+22+45+26+47+21+39=286。
总和为188+250+201+365+198+280+312+286=2080。
（2）纵向计算
第一列，和为02+50+49+61+16+57+63+38=336。
第二列，和为13+60+23+32+37+54+35+48=302。
第三列，和为28+30+19+20+46+12+58+22=235。
第四列，和为41+08+44+55+10+36+18+45=257。
第五列，和为24+14+31+59+15+06+17+26=192。
第六列，和为33+29+27+34+25+11+52+47=258。
第七列，和为43+56+07+42+40+53+05+21=267。
第八列，和为04+03+01+62+09+51+64+39=233。
总和为336+302+235+257+192+258+267+233=2080。
（八）黄金分割
我们用Ω表示黄金比率，先建立部分与总体之间的关系式，然后解出Ω的值。控制范围为0.617<Ω<0.619。如此，误差一般在千分之一以内。
（1）行的结构
①第一行+第二行+第三行+第四行+第六行=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第一行+第二行+第三行+第四行+第六行= 188+250+201+365+280=1284，总和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
②第五行+第七行+第八行=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第五行+第七行+第八行= 198+312+286=796，总和=2080，
Ω×Ω= 796÷2080=0.3826……
然后开平方，解出Ω= 0.6186……
③第二行+第三行+第四行+第六行=总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω，第二、四层次黄金分割
验算：第二行+第三行+第四行+第六行=250+201+365+280=1096，总和=2080，
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1096÷2080 =0.5269……
这是一个四次方程，解出Ω= 0.6176……
④第一行=总和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω，第五层次黄金分割
验算：第一行=188，总和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω×Ω=188÷2080= 0.0903……
然后开五次方，解出Ω= 0.6183……
（2）列的结构
①第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=总和×Ω，第一层次黄金分割
验算：第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=336+257+192+267+233=1285，总和=2080，
解出Ω= 1285÷2080=0.6177……
②第二列+第三列+第六列=总和×Ω×Ω，第二层次黄金分割
验算：第二列+第三列+第六列=，总和=2080，
Ω×Ω=795÷2080= 0.3822……
然后开平方，解出Ω= 0.6182……
总体而言，行与列，包含有如下两种分割模式。
总和
=总和×Ω+总和×Ω×Ω
=总和×Ω×Ω+（总和×Ω×Ω+总和×Ω×Ω×Ω×Ω）+总和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω
依照“续三”中的术语，这是一个奇异黄金方阵。
